基于 MATLAB 的单摆非线性振动仿真及其特性分析论文

导读:单摆作为一种经典的动力学模型,在中学和大学涉及振动的物理教学中具有重要作用。但是在实际教学过程中,存在大角度摆动时非线性方程求解困难、运动过程中不易观测记录和阻尼、受迫等实

SCI论文(www.scipaper.net):

  摘要:单摆作为一种经典的动力学模型,在中学和大学涉及振动的物理教学中具有重要作用。但是在实际教学过程中,存在大角度摆动时非线性方程求解困难、运动过程中不易观测记录和阻尼、受迫等实验设计难度较大的问题。本文借助MATLAB仿真技术,实现了同时考虑阻尼和受迫的复杂情况下单摆非线性运动仿真模拟。该仿真实现了运动过程的直观展示,弥补了实验中阻尼和受迫等条件难以实现的问题,为计算机辅助物理教学提供了一个较好的手段。
  关键词:MATLAB;单摆;非线性;阻尼振动;受迫振动
  The Analysis of Nonlinear Vibration Simulation and the Characteristic for Single Pendulum Based on MATLAB
  CHENG Jie,LIU Shengli
  (School of Science,Nanjing University of Posts and Telecommunications,Nanjing Jiangsu 210023)
  【Abstract】:As a classical dynamic model,simple pendulum plays an important role in the physical teaching of vibration.However,for the actual teaching process,there are some difficult problems including the solution of nonlinear equation with the large angle,the observation of vibration situation,and the design of damped and forced vibration.In this paper,based on the MATLAB simulation,the nonlinear vibration simulation of single pendulum considering both the damped and forced conditions is realized.The simulation provides the visual display of vibration process,makes up the difficult problems of damped and forced conditions in experiment,and offers a new platform for the computer assisted instruction.
  【Key words】:MATLAB;simple pendulum;nonlinear;damped vibration;forced vibration
  0引言
  振动是自然界最普遍的运动形式之一,是物理量随时间做周期性变化的运动。阻尼振动和受迫振动在物理和工程技术中得到广泛重视。单摆是最简单的振动模型,可以通过不同条件设置,演化出各类振动形式,如理想的简谐振动、阻尼振动、受迫振动等[1]。另外其还具备线性和非线性特征:不受激励的小角度摆动时是线性的简谐振动;大角度摆动时,动力学方程是非线性的,表现出复杂的非线性运动特征。所以,单摆是物理动力学教学中极佳的参考模型。但是在实际教学过程中,存在非线性问题无法采用传统数学方法得出解析解[2];实验上不易观测记录;阻尼、受迫等实验设计难度较大的问题,这些都制约了单摆在教学中发挥其应有的作用。

浏览大图
  MATLAB是Matrix和Laboratory两个词的组合,为美国MathWorks公司出品的商业软件,它将数值分析、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多功能集成在一个视窗环境中,这种可视化的物理教学,能较好地激发学生的学习兴趣,并有助于获得优异的教学效果。因此,本文借助MATLAB软件在微分方程求解和可视化中的功能,探究了恒力和周期性外力对非线性摆动的影响。


浏览大图
  1大角度受迫单摆的动力学分析
  如图1所示,一个质量为m的小球,用一根长度为l的轻质细线悬挂起来,对小球施加横向的外力或使其偏离平衡位置,小球就会在平面内围绕平衡位置来回摆动,从而构成一个振动模型。如果同时考虑粘滞阻力(如空气阻力)和施加切向外力的复杂情况,假设粘滞阻尼力的大小为速度与阻尼系数γ的乘积,小球受到的切向外力为f(t)。忽略轻绳的质量,根据牛顿第二定律可得关于摆动角θ的动力学方程:

  
浏览大图
  将(2)式中的sin&theta;作泰勒级数展开,有sin&theta;=&theta;-&theta;3/(3!+&theta;5/(5!-…,当&theta;很小时(&theta;<5&deg;),只需保留第一项,式(2)可变为一个线性微分方程,其解为简谐运动形式。但是,如果&theta;不是很小,则sin&theta;至少要保留至第二项,此时式(2)中出现了&theta;的三次方项,式(2)变为非线性微分方程,这样的振动是非线性的[3]。对于非线性方程的求解是非常复杂的,极少情况下才具有解析解。因此,对于大角度下的摆动,借助计算机辅助技术进行求解是个非常有效且便捷的方法。
  2单摆大角度受迫振动的MATLAB仿真
  同时考虑大角度、阻尼和受迫力存在时,对单摆运动的仿真,我们用到ode45函数。但此时,描述单摆的运动方程(2)是一个二阶微分方程,需要提前将其转换成由两个一阶微分方程成组的方程组处理[4]。具体做法为:令y·1=&theta;,y2=&theta;·,(2)式可以写为:
  y·1=y2
  y·2=-&omega;02siny1-2&beta;y2+f(t)/ml
  对于上式,MATLAB求解方程组的程序forced_ vibration.m如图2、图3所示。


浏览大图
  运行forced_vibration.m即可得到相应阻尼和驱动力情况下系统的角度和角速度。接下来可以对小球的运动情况进行仿真绘图。首先定义仿真作图区域,为便于观测,可以将单摆长度、小球质量、阻尼系数、驱动力等常量和时间、角度、角速度、能量等变量进行动态展示,程序代码如图4所示。
  进一步,根据动态方程求解所得到角度和角速度,完成单摆的动态仿真作图,程序代码如图5所示。


浏览大图
  运行上面的程序,可以仿真任意初始角度、速度下单摆的运动情况,并且可以模拟施加不同阻尼、驱动力的情况,有效解决了单摆实验的设计难题。为验证程序的正确性,计算了无阻尼(&gamma;=0)和外力(f(t)=0)的极简情况下,单摆以&theta;=30&deg;初始角度的仿真,分别截选了t=0,0.5,1,10s的运动图像,如图6所示。


浏览大图
  3受力单摆非线性运动的仿真和分析
  本文将重点讨论具有受迫力时,单摆的运动情况,主要原因:(1)对于一般的简谐振动,相关介绍已经很多了[5,6];(2)实际实验教学中,对于具有阻尼和驱动力的非线性单摆设计非常困难,缺少有效的教学手段,而利用计算机辅助的仿真技术进行演示可以很好地弥补其不足。
  3.1恒力作用下单摆非线性运动
  如图7所示为无阻尼影响下,单摆小球受到f=1N切向恒力,从&theta;=60&deg;初始角度开始的摆动状态。结果表明,单摆摆动角度、势能、动能和总的机械能随时间做周期性变化,此情况下单摆的平衡位置不在势能零点(图1中的O点),而在5.85&deg;位置,与通过受力分析的理论计算相符;相轨迹为一个椭圆轨迹;小球受到的合力随摆动角变化呈现曲线特性,体现了系统的非线性特征。


浏览大图
  如图8所示为&gamma;=0.5(阻尼系数&beta;<&omega;0,欠阻尼)影响下,单摆小球受到f=1N切向恒力,从&theta;=60&deg;初始角度开始的摆动状态。结果表明,随着时间的延长,小球摆动幅度逐渐减小,最终静止在平衡位置;相轨迹呈现螺旋收缩,最终也会静止在平衡位置,角加速度归零,相图上的中心点即为吸引子;重力势能和动能虽然能相互转换,但是由于受到阻尼影响会逐渐衰减,直至动能归零,总机械能等于平衡位置(&theta;=5.85&deg;)处的重力势能;合力的变化比较复杂,与摆球位置不再一一对应。


浏览大图
  如图9所示为&beta;=&omega;0(临界阻尼)影响下,单摆小球受到f=1N切向恒力,从&theta;=60&deg;初始角度开始的摆动状态。结果表明,在较大的阻尼影响下,摆球快速达到静止状态;相轨图快速收缩到角加速度为零的状态;动能和合力也快速归零。事实上,如果阻尼继续增大,上述变化会更加快速,摆球会在强大阻尼的影响下快速回归到平衡位置。

浏览大图
  总起来说,单摆在恒力作用下的运动状态与不受外力的情况类似,只是因为外力的介入,摆球平衡位置有了相应的变化。但是,如果摆球受到的是周期性的驱动外力,其运动特性将会有非常大的变化。
  3.2周期力作用下单摆的非线性运动
  如图10所示为无阻尼影响下,单摆小球受到f=cos(t)周期性切向力,从&theta;=60&deg;初始角度开始的摆动状态。结果表明,摆动角依然呈现周期性的特征,只是周期内的运动变得更为复杂;从相图上可以明显看出,系统运动出现了三周期现象,亦称出现了分叉现象;此情况下摆球的动能和重力势能依然相互转化,并呈现周期性;摆球受到的合力变得异常复杂,不仅与摆球位置有关,还和过程有关,这与不受外力和受恒定外力作用时有巨大不同。

浏览大图
  如图11、图12所示分别计算了相同驱动力(f=cos(t))不同初始角度,以及相同初始角度(&theta;=30&deg;)不同驱动力振幅下,无阻尼摆动的情况。图11中初始角度选取0&deg;、10&deg;、30&deg;和60&deg;;图12中周期性外力振幅选取0.5、1、2和3。结果表明,摆球对初始状态和驱动力的振幅异常敏感,周期性驱动力的作用下摆球运动行为变得复杂,不易确定。

浏览大图
  单摆运动存在一个固有频率,对应的角频率为&omega;0=
浏览大图
  如图13所示为周期外力角频率&omega;=&omega;0时(即f=cos(&omega;0t),无阻尼状态下单摆小球受迫共振的运动(初始位置&theta;=15&deg;)。结果表明,当周期外力频率与系统固有频率相同时,受迫力与系统发生共振,驱动力对摆球做功,摆球振幅出现周期性的涨落,调制周期即为驱动力的周期;相轨围绕系统原有相轨外延,而后缩进至原有相轨,以驱动力周期周而复始;由于外力周期性做功,影响摆球重力势能、动能和总机械能同样以驱动力周期发生涨落;摆球受到的合力与位置间呈现非线性和非单值的特征。需要指出的是,共振现象的振幅与驱动力的振幅正相关,如果驱动力振幅足够大,可以对原系统造成强烈破坏。比如1940年7月1日,美国的塔克玛(Tacoma Narrows)斜拉大桥的坍塌事件,就是源于风力与桥体形成的共振[3]。


浏览大图
  如图14所示为阻尼系数和外力周期均与系统固有频率匹配,即&beta;=&omega;=&omega;0时,从&theta;=30&deg;初始角度开始的摆动状态。结果表明,在临界阻尼和驱动力的共同影响下,摆球的振幅首先大幅降低,而后在阻尼、重力和驱动力的共同作用下达到新的平衡状态,摆球在O点(图1)位置重新建立“自由摆动”模式;相轨迹图中则表现为相轨向中心位置附近急剧收缩,而后在原点(0,0)附近呈现椭圆轨迹,特性与无阻尼、无外力情况类似;能量图中可以看出,开始阶段的能量快速衰减,系统达到平衡后,总的机械能保持不变,重力势能和动能之间相互转化。由此,可知临界阻尼可以有效降低共振驱动力带来的影响,在实际工程中可以充分利用其抵抗有害共振。

浏览大图
  4结论
  本文以单摆的非线性振动为例,通过模拟单摆在阻尼和外力作用下的非线性运动过程,直观地分析了复杂情况下单摆的运动行为。文中重点讨论了恒定外力和周期性外力作用下,阻尼、初始角度、驱动力振幅和周期对摆动行为的影响,展现了MATLAB软件在复杂微分方程求解、动画演示、可视化分析方面的应用,有助于我们对非线性摆动这一动力学问题及其物理本质的阐述。
  参考文献
  [1]马文蔚,周雨青,解希顺.物理学[M].北京:高等教育出版社,2014.
  [2]李俊峰.理论力学[M].北京:清华大学出版社,2001.
  [3]毛骏健,顾牡.大学物理学[M].北京:高等教育出版社,2006.
  [4]高云峰.Matlab求解理论力学问题系列(三)单摆和椭圆摆的运动及周期[J].力学与实践,2021,43(4):593-598.
  [5]杨文锦,王鸿丽,刘彩云,等.利用Matlab判定单摆运动特性的理论研究[J].西南师范大学学报(自然科学版),2020,45(11):167-170.
  [6]邵云.单摆自水平位置静止开始下摆的运动状况研究[J].高师理科学刊,2021,41(3):38-42.

关注SCI论文创作发表,寻求SCI论文修改润色、SCI论文代发表等服务支撑,请锁定SCI论文网!

 

来源:SCI论文网

推荐阅读